关于大学数学教材建设的一些看法和建议

李大潜 院士

（2006—2010年教育部高等学校数学与统计学教学指导委员会主任委员）

数学教材只有具有明确的指导思想和定位，具有鲜明的特色和个性，才有可能进入先进的行列，才能逐步成为精品。面对着国内出版的这么多的大学数学教材，从宏观来说，存在的最大问题看来也就在这些方面。如果仔细地观察与分析一下，就可以发现有不少互相雷同的教材，甚至少数粗制滥造的作品；按定位准确、特色鲜明来严格要求，恐怕不及格的也会不在少数。为了帮助改进和改善这种状况，下面我对现有教材可能存在的一些弱点和不足，冒昧地提出一些批评和建议，这同时也反映我对如何编写大学数学教材的一些理念和思考，请大家批评指正。

首先，现有的一些数学教材，在传授数学知识方面，总的应当说还是做得比较好的。一大堆数学的概念、定理、公式与证明，都得到了认真的展现和推演，讲课教师也力图将这些知识灌输到学生的头脑之中，恨不得将学生变成一个活的数学字典，甚至是数学的百科全书，其意甚城，其情可感。但是，无论是教材的编写或是教师的讲授，往往忘记了数学最根本的三件事。哪三件事呢？

一是这些数学知识的来龙去脉，是从哪儿来的，又可以到哪儿去。数学并不是无源之水、无本之木，它发展的最根本的源泉是现实世界的实际需要，是有很丰富的现实背景和需求的；而且，有意义的数学结果和内涵，也一定会在现实世界的方方面面得到广泛的应用。不讲来龙去脉，就割断了数学与生动活泼的现实生活的血肉联系，学生怎么会对数学有深入的领悟，怎么会有学习数学的持续的积极性呢？近年来，在大学生数学建模竞赛的基础上，开展了将数学建模的思想和方法融入大学主干数学课程的教学改革实践，在这方面开始取得了一些突破，但还仅仅是开始，是值得大力提倡和认真实践的。

二是数学的精神实质和思想方法，而不仅仅是一些数学知识和证明技巧。数学科学是由纯粹数学与应用数学的众多分支学科以及种种相关交叉学科组成的庞大的学科体系，这种适当分门别类的课程设置方式是必要的。但是，对应于一个分支学科的每一门单独的课程，它在数学科学这一大家庭中是和其他种种分支学科紧密联系着的，决不是一个自我封闭并孤芳自赏的独立王国，相应的教材及教学也不能片面地追求天衣无缝和自我完善。相反，要尽量创造机会与数学的其他分支和数学之外的种种学科沟通联系，互通有无，并汲取营养，使相应的课程在开放的状态中显得更有生机活力，使学生的认识更加全面和深刻。对照这一要求，我们现在每门数学课的教材及教学，更多的是强调这一分支学科的特点和特色，但却削弱、淡化甚至割裂了与其他方面的联系，追求的是一种自我封闭、作茧自缚的状态，实际上陷入王婆卖瓜、自卖自夸的局面。这样做，会造成学生认识上的片面性，抑制了学生的创造性思维和想象，造成了课程间不必要的重叠和隔阂，也加重了学生的负担。可以设想一下，如果在一些课程之间做一些有机的结合，并在课程体系的设计方面相应地精简与改造一些原有的课程，效果会不会更好呢？

举例来说，现在的数学分析与数值分析是截然分开的两门课，一门讲理论，一门讲计算，互不通气，各守门户。但从解决现实世界中实际问题的角度看，如果将二者结合起来，开出一门“数学分析与数值分析”的课，会不会更好？会不会反而使同学的认识更加全面而深刻一些呢？对函数y=f(x)，在数学分析中讲得头头是道，似乎是天衣无缝，但在实际应用中的情况却远远没有这么简单。为了得到这样一个函数，为了对一个任意给定的自变量x₀，得到相应的函数值y₀＝f(x₀)，往往要经过必要的试验和测量，有时甚至要求解相应的偏微分方程的边值问题才能决定。因此，花了很大力气，实际上能得到的，最多也就是函数在若干离散点上的值，而且由于测量难免的误差，这些值还只是一些近似值。了解了这一点，数学分析中对初等函数用得很成功的那一套就碰壁了。如果这时有的放矢地介绍插值的方法和理论，不仅顺其自然，而且雪中送炭。数学分析方法和数值分析方法的相互联系、功能互补，只会使学生对问题认识得更深刻，对解决现实问题更有信心，也一定会变得更加灵活和聪明起来。再如求导，从差商取极限就得到导数。对于初等函数或由初等函数组成的函数来说，求导自然是不成问题的，但若只知道在离散点上的函数值，要想对导数有一个较好的了解，一个自然的方案就是由导数后退到差商，而数值微分的理论和方法就可以由此展开了。再如积分，数学分析中能够积分出来的函数本来不是很多，大部分情况下的积分是算不出来的，这是我们学积分时常有的遗憾，而要算出一个复杂的积分也往往很使人头疼。难道我们就要在一棵树上吊死吗？当然不会！利用函数在离散点上的值，就可以用曲线下的相应矩形或梯形面积求出积分的近似值，各种数值积分的方法和理论就可以自然而然地展现出来。如果真的将数学分析和数值分析这两门课有机结合，相信可以减少不少互相重叠的叙述，可以增加同学的深入理解和实际能力，说不定是一个数学教学改革的突破点，而且一定会形成自己的特色和品味，是不是可以试一试呢？

对数学物理方程和偏微分方程数值解这两门课程，也有类似的情况。一方面，真正能够显式求解的偏微分方程的定解问题实际上为数很少，在应用中绝大多数的偏微分方程定解问题都是用数值方法求解的。另一方面，偏微分方程的理论对设计其数值解法或算法又起着至关重要的指导作用，不同的偏微分方程数值解法，实际上是与对偏微分方程的解的不同理解与定义密切对应的。将这两方面有机地结合起来，难道不可以起到既节省时间精力又加深理解这样相得益彰的效果吗？！ 

再说泛函分析，讲的是无穷维空间的理论。然而，就无穷维空间讲无穷维空间，不了解无穷维空间和有限维空间到底有什么异同，效果必不会好。由于线性代数讲的是有限维空间的理论，如果在泛函分析的教材及教学中，不时地比照线性代数中的相关概念和内容，揭示其间的联系与区别，决不是打横跑、跑野马、不务正业，相反，可以真正推动学生对泛函分析的深入理解，起到事半功倍之效，难道不值得大力提倡吗？【作者在第八届大学数学课程报告论坛上作了“愿更多的数学精品教材成为传世的经典”的大会报告（参见《中国大学教学》2012年第12期）。本文是其中的部分内容，发表时经作者审阅。】

教育部高等学校教学指导委员会通讯2013年第5期（总第120期）.doc